Cách Tính Khoảng Cách Từ 1 Điểm Đến 1 Đường Thẳng

  -  

Trong mặt phẳng Oxy cho điểm $M(x_M;y_M)$ và đường thẳng $\Delta$ có phương trình: $ax+by+c=0$. Khi đó khoảng cách từ điểm $M(x_M;y_M)$ đến đường thẳng $\Delta$ được xác định bởi công thức:

$d(M,\Delta)=\dfrac{|ax_M+by_M+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $\Delta$ chính là đoạn MH với H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng $\Delta$.

Bạn đang xem: Cách tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng


*

Như vậy để tính được khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $\Delta$ thì chúng ta cần phải xác định được 2 yếu tố:

Tọa độ điểm MPhương trình của đường thẳng $\Delta$

Bài tập tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài tập 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng $\Delta$ và đường thẳng a lần lượt có phương trình là: $2x+3y-1=0$ và $4x+3y-5=0$

a. Tính khoảng cách từ điểm $M(2;1)$ đến đường thẳng $\Delta$

b. Tính khoảng cách từ điểm $A(2;4)$ đến đường thẳng $a$

Hướng dẫn:

a. Khoảng cách từ điểm $M(2;1)$ đến đường thẳng $\Delta$ là:

$d(M,\Delta)=\dfrac{|2.2+3.1-1|}{\sqrt{2^2+3^2}}$

=> $d(M,\Delta)=\dfrac{6}{\sqrt{13}}$

=> $d(M,\Delta)=\dfrac{6\sqrt{13}}{13}$

b. Khoảng cách từ điểm $A(2;4)$ đến đường thẳng $a$ là:

$d(M,a)=\dfrac{|4.2+3.4-5|}{\sqrt{4^2+3^2}}$

=> $d(M,a)=\dfrac{15}{\sqrt{4^2+3^2}}$

=> $d(M,a)=\dfrac{15}{5}=3$

Bài tập 2: Cho tam giác ABC biết $A(1;2)$; $B(2;3)$; $C(-1;2)$. Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A xuống cạnh BC.

Xem thêm: Cách Nấu Khoai Mì Nước Cốt Dừa Ngon Bá Chấy, Cách Làm Khoai Mì Nước Cốt Dừa

Hướng dẫn:

Độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A đến cạnh BC chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC. Do đó ta cần viết được phương trình của đường thẳng BC.

Xem thêm: Trưa Nay Ăn Gì: Cách Làm Gà Tần Ngải Cứu Tốt Cho Mẹ Bầu, Làm Gà Hầm Ngải Cứu Siêu Ngon Cho Ngày Mưa


*

Ta có: $\vec{BC}=(-3;-1)$

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC là: $\vec{n}_{BC}=(1;-3)$

Đường thẳng BC đi qua điểm $B(2;3)$ có phương trình là:

$1.(x-2)-3(y-3)=0$ $x-3y+7=0$

Khoảng cách từ điểm $A(1;2)$ đến đường thẳng BC là:

$d(A,BC)=\dfrac{|1-3.2+7|}{\sqrt{1^2+(-3)^2}}$

=> $d(A,BC)=\dfrac{2}{\sqrt{10}}$

=> $d(A,BC)=\dfrac{\sqrt{10}}{5}$

Vậy độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A đến cạnh BC bằng: $\dfrac{\sqrt{10}}{5}$

Bài tập 3: Tìm tất cả những điểm nằm trên đường thẳng a có phương trình: $x+y-3=0$ và có khoảng cách đến đường thẳng b có phương trình $3x-4y+5=0$ bằng 3.

Hướng dẫn:

Gọi $M$ là điểm bất kì thuộc đường thẳng a. Khi đó ta có tọa độ của điểm $M$ là: $M(x_M;-x_M+3)$

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng b là:

$d(M,b)=\dfrac{|3x_M-4(x_M+3)+5|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}$

=> $ d(M,b) = \dfrac{|-x_M-7|}{5}$

=> $ d(M,b) = \dfrac{|x_M+7|}{5}$

Theo bài ra khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng b bằng 3 nên ta có:

$ \dfrac{|x_M+7|}{5}=3$

$|x_M+7|=15$

$x_M+7=15$ hoặc $x_M+7=-15$

$x_M=8$ hoặc $x_M=-19$

Vậy có hai điểm M thuộc đường thẳng a và có khoảng cách đến đường thẳng b bằng 3 là hai điểm $M_1(8;-5)$ và $M_2(-22;-19)$


*
Hình minh họa

Bài tập rèn luyện tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng

Bài tập 1: trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng a và b lần lượt có phương trình là: $2x-3y+7=0$ và $4x+3y-11=0$.

a. Tính khoảng cách từ điểm $A(2;-3)$ tới đường thẳng a

b. Tính khoảng cách từ điểm $B(-4;3)$ tới đường thẳng b

Bài tập 2: Tính diện tích hình vuông có toạ độ một đỉnh là A(4;2) và phương trình một đường chéo là $x+2y+2=0$

Bài tập 3: Viết phương trình của đường thẳng a song song với đường thẳng b: 3x + 4y – 1 = 0 và cách đường thẳng b một đoạn bằng 2

Bài tập 4: Tìm bán kính của đường tròn tâm I(2, –3) và tiếp xúc với đường thẳng: 12x -5y +3 = 0